对称正定矩阵¶
本文译自：https://nhigham.com/2020/07/21/what-is-a-symmetric-positive-definite-matrix/
\(n\times n\) 的矩阵 \(A\) 为实对称矩阵，当且仅当 \(A = A^T\)，且
\[
x^T A X > 0 \quad \forall\ x \neq 0.
\]
我们可以发现
\[
\begin{aligned}\
a_{ii} &> 0 &\forall\ i, \\
a_{ij} &< \sqrt{a_{ii}a_{jj}} &\forall\ i \neq j.
\end{aligned}
\]
当然，这组不等式不是正定对称矩阵的充分条件。
对于一个对称阵，其为正定矩阵的充分条件是对角元素为正且主对角占优，即 \(a_{ii} > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|\ \forall \ i\)。
最后更新:
2022-12-17