Linear Discriminant Embedding

其他

在 LDE 原论文中，目标函数中使用的是行列式而不是迹。下面我们证明在 \(A\) 对称且特征值均非负的情况下二者是等价的。

我们已经假设两个矩阵都是协方差矩阵，都可以对角化。设方阵 \(A\) 为可对角矩阵，且对角元素都非负，则

\[ A = P^{-1} D P \]

其中 \(D\) 为对角矩阵，\(P\) 为正交矩阵。故

\[ \det A = \prod \lambda_i \]

而

\[ \operatorname{tr} A = \sum \lambda_i \]

所以最大化其迹，即特征值之和，等价于最大化其行列式，即特征值之积。