Linear Discriminant Embedding
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在 LDE 原论文中，目标函数中使用的是行列式而不是迹。下面我们证明在 \(A\) 对称且特征值均非负的情况下二者是等价的。
我们已经假设两个矩阵都是协方差矩阵，都可以对角化。设方阵 \(A\) 为可对角矩阵，且对角元素都非负，则
\[
A = P^{-1} D P
\]
其中 \(D\) 为对角矩阵，\(P\) 为正交矩阵。故
\[
\det A = \prod \lambda_i
\]
而
\[
\operatorname{tr} A = \sum \lambda_i
\]
所以最大化其迹，即特征值之和，等价于最大化其行列式，即特征值之积。
最后更新:
2022-12-17